陸澈任了御市令後,看這街面上大部分時候也沒啥事,於是就繼續和傅頓一起擺攤,依然經常互相幫忙:傅頓有時候忙著算一些問題的時候,陸澈幫忙賣豆,陸澈巡邏行使御市令之責時,傅頓也會幫忙照看那些桑絲。
卻說這一日,陸澈看著來往的人不多,就拿過傅頓在修編的書卷,看封面上寫“算之六爻”,就想起之前在中原,曾經雲中郡的弟子鄧明善運籌謀算,於是就問傅頓:“傅兄弟,說到這算經,老哥我大概知道是啥,六爻也有所耳聞,你這個‘算之六爻’?以前沒見過,是個啥意思啊?”
說到這,傅頓高興了,就對陸澈問道:“既如此,老哥您說說何為‘六爻’?”
陸澈哈哈一笑說:“這有何難,六爻乃卜卦之法,與八字相類,借用易經等典籍,預測吉凶禍福。”
“那陸老哥可曾想過,為何六爻之法,可測吉凶?”
“自然是因天人相應,紅日太陰,以定年月,星辰天地,催動人間之事,自然可用其六爻以定吉凶。”
“陸老哥果然才學博通,那可知,何為算也?”
“算者,以已知推未明,方田、均輸、運籌等事,以定法定數,輔以行規而算,其果可測也。”
“正是如此!如九章算經,方田、均輸、禾粟之方程[1],均含妙法,如方田一章,其所算為面冪[2],最簡易者,兩長稱邊,邊所夾為角,圭田之三角面,有幾邊乘一定之數,可得其面。”
陸澈說以前見過有個弟子擅長此術,然後呢?
傅頓說:“三角面有定法,正四邊亦有,傅某遂想,方田也好,商功也罷,諸多長、角、功程等事,有其共性。”
陸澈思考片刻:“何為共性?”
傅頓:“正所謂,薔薇不稱薔薇,依然芬香,香者,其本性也。吾所思者,諸本性或可算、或可觀以測之。如日常所言之幾日幾月,既然以紅日太陰運算以定,則于飛禽走獸,皆為同樣之幾日幾月也,此之謂,其性可觀可算。”
“自本性之思而起,為行其算,用一、三、八、十等定量,稱數;而上述諸數,於運算之時,也有定規,故運算之時,不必有定數,此時諸數可用蝌蚪文、刀刻文之圖形表之,稱為元。”
“元者,通用之量,為基石也。”
“而元之說既出,進而於運算時,各元加減乘除之規,可稱律。律者,行事之法度也,刑名進退有其法度,各元計算亦然。”
說到這,傅頓拿過一摞紙,從中挑出一張,陸澈看到整整齊齊的似乎像龜茲文的蝌蚪文一長串,不知啥意思,看著倒是挺好看。
傅頓指其中一行:“老哥請看,此即為一例,甲乙二元相加再自乘,與甲乙自乘加二倍甲乙乘必等,諸如此般,即為各元計算之律也。”
“如此般,通用之律,為運算之法度也。”
之後傅頓又用多數驗證運算之律,陸澈看完沉思一陣後說:“這等算律觀之甚妙,然此等之律甚多,是否律者也有基石,即以少律或約束或推算多律。”
傅頓一拍大腿:“陸老哥高見!此等律者,可稱公律,如甲乙兩數相加,與乙甲相加同,相乘亦然,可稱交換之公律。”
“進而,甲乙丙三數相乘,先甲乙乘之,再乘丙,或乙丙先乘之,再乘甲,二者亦相等,此稱結合之公律。”
“又如,甲乙相加再乘丙,可與甲丙相乘乙丙相乘之和相等,此稱分配之公律。”
陸澈看著傅頓用幾摞紙上的蝌蚪文和數來解釋這些,看了一會也逐漸明白了,於是就問:“分配之公律不甚顯然,而交換之公律、結合之公律,一望便知,立之何用?”
傅頓說:“並不盡然,如交換之公律,尋常數元運算自然一望即可,然諸算經所言之方田、均輸等,細思之,可見其中有已知未知,則多可用方程之法以算,故方程之法,亦不必限於禾粟,此種所思於方程及勾股一章,均隱隱有現。”
“方程者,可單方程也可多方程為組為伍,方程諸元若能算出者,必可用其倍數所出,既如此,成組之方程,何不取其諸元倍數,列為數陣,經運算後,得諸元成數陣之列所示?”
“若如此解算,則數陣亦可視為陣元[3],以吾所觀並驗,陣元之算,大多不合交換之公律也。”
“此等事,可以大小木格櫃類之,各格放其陶罐,有紅豆綠豆可視為數元,而櫃可視為陣元,兩櫃可和可拆,但若諸格沙豆相融,則先紅或先綠必有所不同。[4]”
傅頓接著說:“凡此種種,可稱順流而下之法,即以石豆草木,核算其數,諸數亦有運算之律,而運算之律亦有公律約之,探運算之律與公律之何處通何處塞,則得可行之路,需得用時,再返流而上,以推得石豆草木眼見之物核算,遂似六爻,此般諸事,以算為馭,故稱算之六么。”
陸澈取過水囊,先來了一口,說兄弟你先等等,我先捋捋,沉思良久後說:“傅兄弟你這各元各律的好像確實精妙,不過老哥有兩事不明。”
“一者,適才所見各元計算之律,用的是龜茲文?而且龜茲文好像也和陸某之前見到的不太一樣[5]。”
傅頓回答說:“運算之律所寫之數大者,以漢文書則費墨略大,姑臧城來往商旅眾多,阿拉米文、龜茲文等諸般文字均可得見,終選龜茲文最為適宜並簡化,如一萬三千六百二十八,可首位寫一,次位寫三,再次位六,後為二為八。所表之數實為各數與萬千百十等定數對位相乘而加即可,此種方式雖然運算稍多,一來可大為省紙墨,二來以傅某所驗,可易得計算之律。”
“二者,此般運算之律,雖觀之甚妙,有何實用?”
傅頓說:“此等用者,有其內用外用,內用者,以公律約運算之律,並以運算之律得運算之律,可生生不息,皆為算律之內用。”
“老哥所言之用,當指外用,外用之要,當為破人力之所限。”
陸澈問:“何為破人力之所限?”
傅頓說:“陸老哥定知,人之移物,三五十斤尚可,百八十斤已不易,能移千斤者,古今罕有,能移萬斤者,未嘗見也。數也好元也罷,諸般運算亦如此,二三相加,得之甚易,萬千之數,加減尚且不易,相乘更為困難。”
“故而需用之時,可用運算之律,或拆或合,即可化不可為可,正似萬斤之物,不可移也,若能分為個個十斤之千數,則可移。”
“如,甲乙兩數,三十八十之間,相加則過百,自乘之平方,算之不易,而若以平方運算之律展開,則甲乙之平方均可易算,如仍覺不易,可再行分拆,此之謂拆用。”
“另有,虛而補之負數,可令加減同,多數多元之多項式算,可相互合併或可平方展開之律逆用,此之謂合用。”
“不難思得,此般運算者,分配或結合之律當大行其道,以此二律,分而合之合而分之相機以動,則諸般不可算之事,可算也。”
陸澈眼看這傅頓說到興起,不便打斷,終於待傅頓將所得之諸般運算之律盡皆示出,方得機去巡視街市去了。
[1]禾粟之方程:《九章算術》中,方程一章例題主要用禾粟舉例。
[2]面冪:古代著作中的說法,也就是面積。
[3]陣元:現代的矩陣
[4]陣元紅綠豆:這裡是簡化的矩陣乘法。
[5]龜茲文算式:龜茲文的字元和阿拉伯數字相似。